Question

二次型正定的充要条件是什么？

Answer 1

二次型正定的充要条件是必要条件就是二项型正定一定满足的条件，反之满足这个条件，二次型不一定正定。

这里是指矩阵范数还是说矩阵的行列式值不过这两个概念，都跟这个题目没有多大关系首先应该考虑什么条件，可以得到它是正定二次型上述证明。是一种是通过定义证明的也可以通过证明矩阵是正定矩阵。

正定矩阵判定定理:

定理1:n元实二次型f(x1,x2,…,xn)为正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n，推论1:n元实二次型f(x1,x2,…,xn)正定的充分必要条件是它的矩阵a的特征值全大于零。推论2:n元二次型f=xtax正定(实对称矩阵a正定)的充要条件，是存在可逆c，得ctac=e(即a与n阶单位矩阵e合同)。

所以可得，选项(a)存在的正交矩阵p必须是可逆的，是充分而非必要条件，选项(b)负惯性指数为零，正惯性指数不一定是n，是必要非充分条件，选项(c)存在矩阵必须c是可逆的，是必要非充分条件，故选择d。