Question

麦克劳林展开式是什么意思？

Answer 1

麦克劳林公式展开是f(x)=sinx。

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式的意义是把复杂的函数简单化，也即是化成多项式函数，泰勒公式是在任何点的展开形式。麦克劳林公式的意义是在0点，对函数进行泰勒展开。

常用麦克劳林公式展开:

f(x)=f(x0)+f’

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn。

其中Rn是公式的余项，可以是如下：

1.佩亚诺(Peano)余项：

Rn(x) = o(x^n)。

2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：

Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)。

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]。