Question

概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其分布

Answer 1

在许多实际问题中，需要使用多个随机变量来描述随机现象，如天气预报包括：空气质量、天气实况、温度、降水等，需要多个随机变量。

多维随机变量的研究方法和二维随机变量的研究思想及方法相同，为简便起见，着重介绍二维随机变量。

二维随机变量的定义 ：

可以说二维随机变量 是一个特殊的二元函数，其定义域为样本空间 ，值域 。很重要的一点是首先确定其值域。

n维随机变量的定义 :

联合分布函数 ：

n维分布函数 :

定理1 联合分布函数的性质：

二维随机变量也分为离散型和非离散型，如果它取值于平面上的一些离散的点，就称为二维离散型随机变量。下面两图分别给出二维离散型和连续型随机变量的概率分布。

二维离散型随机变量 的定义：二维随机变量 仅可能取有限个或可列无限个值。
联合分布律 的定义:

二维连续型随机变量及其联合密度函数 定义：

n维连续型随机变量及其联合密度函数 ：

联合密度函数具有非负性和规范性。

二维均匀分布 的定义：

如果已知二维随机变量 的联合分布，那么 其中一个随机变量的分布 肯定能够得到，其分布我们称为 边缘分布 。

边缘分布函数的定义 ：

边缘分布律 ：

由定义知，求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的行和;求 的边缘分布律即为求 联合分布律表格中的列和。
因为边缘分布律位于 联合分布表格的边缘 ，所以称其为边缘分布律。

边缘密度函数的定义 ：

若已知联合密度函数，边缘密度函数可以直接由定义公式计算得到；若已知联合分布函数，首先计算边缘分布函数，再对边缘分布函数求导得到边缘密度函数。
无论使用哪种方法，首先要确定随机变量的值域，值域之外密度函数都为0。

二维正态分布的边缘仍是正态分布 定理：

将相互独立性的概念推广至随机变量：
随机变量相互独立 的定义：

二维离散随机变量相互独立 定理：

二维连续随机变量相互独立 定理：

二维正态分布随机变量相互独立 ：相关系数为0

推广到n维的相互独立 ：

实际工作中我们需要考虑这样的问题：当一个随机变量的取值确定时，另外一个随机变量的取值规律如何。如新生男婴的身高和体重分别用 和 表示。讨论当男婴身高为50cm时，男婴体重的分布规律。这需要引入条件分布才能计算。

在给定条件 下随机变量 的条件分布律定义：

二维连续型随机变量的密度函数 的定义与二维离散型随机变量的条件分布律类似。

条件密度函数的直观解释：

条件分布函数的定义 ：
将条件密度函数积分即可。

和离散型情形相类似，知道X的边缘密度函数及X取任一个固定值时Y的条件密度函数，则可唯一地确定联合密度函数。

如计算Z=X+Y的分布。

结论：

特别地有以下结论：

由该结论可知，相互独立的成功概率相同的二项分布之和仍服从二项分布，相互独立的泊松分布之和仍服从泊松分布。这称为：该分布具有可加性。这里要求随机变量相互独立。

和一维连续型随机变量函数的分布计算方法类似，可采用分布函数法计算二维连续型随机变量函数的分布。这种计算方法称为 分布函数法 。

定理法 ：

二维正态分布 ：

最大值、最小值分布函数 定理（可由分布函数的定义、相互独立型得到）：

指数分布的最小值不变性 ：指数分布的最小值仍服从指数分布。