向量、矩阵、线性变换的通俗理解

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抛下思念17
2022-06-20 · TA获得超过1.1万个赞
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比如一个存放苹果重量的空间,里面放了所有的自然数来表达苹果的重量。
假设有一个苹果叫A,A的重量是一个不会改变的事实,但是描述这个苹果重量的方式却有很多种,每一种描述都是苹果重量的一个测写。
1000g和1kg是一个意思,都真实表达了苹果的重量。
但是我们知道1000g的数值是1kg的1000倍,kg的单位是g的1000倍。

所以单位变大时,数值变小,呈反比。

如果用数值和单位的乘法来表示空间的元素:

在一维的世界里非常轻松的就能理解,当转换成二维世界呢?
如果要表达,地图上的某一元素(某一点),必须使用2维来表示,类似北纬东经这样表示。假设用(x,y)表示某一点。那么:

假设,现在用一个1米x1米的纸张来表达整个地球,选择这个纸张的中心点为原点,然后1厘米为单位。把整个地球分为100x100个方格。

此时(30,40)就表示(30厘米,40厘米)等于(30x厘米,40x厘米)

那么我们按照一维的思路来分析。30是距离,厘米是单位,这个元素在x单位下的投影到原点的距离为30。

利用勾股定理我们可以算出来 这个距离是50,单位是厘米。
向量(x,y)本质上是向量(x,0)和向量(0,y)的和。
两个向量求和就是对应元素求和。所以用(x,y)表示两个向量。

向量A+B求和的本质是某个东西,沿着A向量的方向走一定距离后再沿着B向量走一定距离。最终抵达新的位置。

当然人们可以定义一个单位向量为(3,4),这样影响的是距离。
(3,4)的本质是(3,0)+(0,4)。
我们可以用矩阵表示
3 0
0 4
这样的单位向量,其实两个方向还是彼此垂直的。

如何表达一个单位向量是彼此不垂直的空间呢?
3 4
0 4

这样可以表达为:
用(3,4)这个向量来表达一个方向作为x轴的单位投影,按勾股定理计算可知距离为5。用(0,4)这个向量来表达另一个方向作为y轴的单位投影。
则两个方向的夹角是53度,不再是原本的90度垂直了。

CA = VB,求V?
当然也可以单位在前,数值在后来表示。

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