二阶常系数齐次线性微分方程是什么?

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惜生芒2072
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二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。

标准形式 y″+py′+qy=0

特征方程 r^2+pr+q=0

通解

1、两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、共轭复根r=α+iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx),标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)



如果f(x)=P(x),Pn(x)为n阶多项式。

若0不是特征值,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=0,λ=0;因为Qm(x)与Pn(x)为同次的多项式,所以Qm(x)设法要根据Pn(x)的情况而定。

比如如果Pn(x)=a(a为常数),则设Qm(x)=A(A为另一个未知常数);如果Pn(x)=x,则设Qm(x)=ax+b;如果Pn(x)=x^2,则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=1,λ=0,即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根,在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中,k=2,λ=0,即y*=x^2*Qm(x)。

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