Question

矩阵代数（五）- 矩阵因式分解

Answer 1

矩阵 的因式分解是把 表示为两个或更多个矩阵的乘积。

当 时，方程 可写成 。把 写成 ，可以由解下面一对方程来求解 ：

可以证明
应用 的 分解来解 ，其中 。
解：解 。
～
对 进行行化简的向后步骤。
～
故 。

分解的计算依赖于如何求 和 。

设 可以化为阶梯形 ，化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵 使 。于是 ，其中 。可以证明 是单位下三角矩阵。
注意将 化为阶梯形 过程中的行变换，它把 化为 。这写行变换也把 化为 ，这是因为

分解的算法：

求下列矩阵的 分解：
解：因 有4行，故 应为 矩阵。 的第一列应该是 的第一列除以它的第一行主元素：
比较 和 的第一列。把 的第一列的后三个元素变成零的行变换同时也将 的第一列的后三个元素变成0。
～ ～ ～
上式中标出的元素确定来将 化为 的行化简。在每个主元列，把标出的元素除以主元后将结果放入 ： 。
容易证明，所求出的 和 满足 。