Question

素数阶群一定是循环群，为什么一个群有n阶元就能推出来群是n阶循环群？

Answer 1

设p为素数，|G|=p，由于G的所有元素的阶都可以被p整除，故任取a∈G，a的阶要么是1要么是p，若a≠1，则a的阶=p，如此a^p=1且a、a^2、a^3…a^(p-1)∈G，又因为|G|=p,故G={1，a，a^2…a^(p-1)}，这就证明了G是循环群。

循环群是一种很重要的群，也是已被完全解决了的一类群。其定义为若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。

由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性，故这个定理告诉我们，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。这样抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群和模n的剩余类加群。