Question

1 1 3 9 23有什么规律?第六个数字应该填什么?

Answer 1

两个方法，先用简便方法：   下一项为2^4，即16，16+14=30，30+23=53。   第六个数字填53。

接下来用复杂一些的办法，求它的通项公式：  设数列{an}={ 1, 1, 3, 9, 23, ...}，  a2-a1=0，  a3-a2=2，  a4-a3=6，  a5-a4=14，  设数列{bn}={a(n+1)-an}，即{ 0, 2, 6, 14, ...}，  b2-b1=2=2^1，  b3-b2=4=2²，  b4-b3=8=2³。 

 bn-b(n-1)=2^(n-1),  累加，得到bn-b1=2^1+2²+2³+2^4+...+2^(n-1)，  根据等比数列求和公式，   bn-b1=2×[1-2^(n-1)]/(1-2)=2^n-2，  即bn=2^n-2+b1=2^n-2+0=2^n-2,  根据{bn}={a(n+1)-an}，  an-a(n-1)=b(n-1)=2^(n-1)-2,  a(n-1)-a(n-2)=b(n-2)=2^(n-2)-2, a2-a1=b1=2^1-2=0。

累加，得到an-a1  =[2^(n-1)-2]+[2^(n-2)-2]+...+(2^1-2)  =2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^1-2(n-1)  =2×[1-2^(n-1)]/(1-2)-2(n-1)  =2^n-2n,  即an=2^n-2n+a1=2^n-2n+1，  a6=2^6-2*6+1=53。