Question

x与sinx为什么是等价无穷小？

Answer 1

x与sinx是等价无穷小的原因：lim(x→0)sinx/x=1，这就说明x→0时sinx与x是等价无穷小，因此可以代换。

用泰勒公示展开sinx=x-x^3/3！+x^5/5！-x^7/7！+x^9/9！+Rn（x），x趋于0时只剩下x项，其余都是高阶小量，sinx和x等价无穷小，洛必达法则，sinx/x上下分别求导后为cosx/1，x等于0时该值为1，所以sinx和x等价无穷小。

等价无穷小替换

是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。