正规阵的特征值全为实数吗?
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并不一定,虽然可以证明一定存在一个酉矩阵,使得正规矩阵乘以该酉矩阵化为对角矩阵,但是要注意,这里的对角矩阵并没有告诉你是实对角矩阵.而且可以很轻松的举一个反例就可以说明正规阵的特征值可能不是实数.
设A为正规阵,则必存在一个酉矩阵U,使得A*U=B,B为一个对角阵.同时我们注意到,所有的酉矩阵都可逆（酉矩阵行列式的值横等于1）且任意酉矩阵的逆也是酉矩阵,那么A=B*inv(U).对于A=B*inv(U),现在假设已知B是一个已知的复对角阵,它乘以一个inv(U)得到的A必定是一个正规阵,那么A的特征值就等于B对角线上的元素,因此A的特征值可以为复数.
或者可以举一个最简单的例子,A是一个只有对角线上全部是非零元素,且对角线上含有复数的矩阵,它本身就必定正规,并且对角化的酉矩阵就是单位阵,因为A*E=A显然成立.而的特征值就等于它对角线上的元素,因此特征值不全为实数.
设A为正规阵,则必存在一个酉矩阵U,使得A*U=B,B为一个对角阵.同时我们注意到,所有的酉矩阵都可逆（酉矩阵行列式的值横等于1）且任意酉矩阵的逆也是酉矩阵,那么A=B*inv(U).对于A=B*inv(U),现在假设已知B是一个已知的复对角阵,它乘以一个inv(U)得到的A必定是一个正规阵,那么A的特征值就等于B对角线上的元素,因此A的特征值可以为复数.
或者可以举一个最简单的例子,A是一个只有对角线上全部是非零元素,且对角线上含有复数的矩阵,它本身就必定正规,并且对角化的酉矩阵就是单位阵,因为A*E=A显然成立.而的特征值就等于它对角线上的元素,因此特征值不全为实数.
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