Question

计算二元函数重极限时，已知两个累次极限均存在并相等，能否说明重极限存在且等于累次极限？

Answer 1

计算二元函数重极限时，已知两个累次极限均存在并相等，说明重极限存在且等于累次极限：函数f（x，y）=x*sin（1/y）或f（x，y）=y*sin（1/x）重极限存在，为0，累次极限不存在。

设P=f（x，y），P0=（a，b），当P→P0时f（x，y）的极限是x，y同时趋向于a，b时所得到的称为二重极限。此外，我们还要讨论x，y先后相继地趋于a，b时的极限，称为二次极限。两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在，两个二次极限存在而不相等。

必须注意

所谓二重极限存在，是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）都无限接近于A。因此，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使f（x，y）无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。

但是反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，f（x，y）趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。