Question

怎样证明根号 3 是无理数?

Answer 1

方法1：假设根符号3=P/Q（P和Q是互质整数），那么P^2=3Q^2。把p^2除以3。因为3是质数，所以把P除以3。假设P=3T，那么q^2=3T^2，那么q除以3。因此，P和Q有一个公约数3，它是与P和Q相矛盾的互质，所以根3是一个无理数。
方法2：设x=根3，则方程x^2=3。假设x^2=3有一个有理数解x=P/Q（P和Q是互质整数），根据牛顿的有理根定理，P除以3，Q除以1，所以P=1或3，Q=1，所以x=1或3。x=1或3不是方程x^2=3的根，所以这是矛盾的，因此根号3是个无理数。
方法3：设x=根号3=P/Q，（P，Q）=1，所以有一个整数s，t，所以PS+QT=1。根3=根3*1=根3（PS+QT）=(√ 3P）s+(√ 3Q）t=3qs+PT是一个整数，所以这是矛盾的，因此根号3是个无理数。