Question

反常积分的敛散性判别是什么意思？

Answer 1

反常积分的敛散性判别是是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。

两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限 而言，当x趋近于正无穷时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x趋近于a加时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

定义：

一般地，我们有下列定义。

定义6.2 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取t>a,如果极限 当t→+∞时lim∫f(x)dx （t为上限，a为下限）存在，就称此极限值为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积分.记作∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）。

即 ∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t为上限，a为下限）。

这时我们说广义积分∫f(x)dx（+∞为上限，a为下限） 存在或收敛。

如果 不存在，就说函数f(x)在无穷区间[a,+∞)的反常积分没有意义或发散。

类似地，可以定义 在区间(-∞,b]及取t<b上的广义积分∫f(x)dx（b为上限，-∞为下限）。