(1+1/n)^n的极限是什么？
(1+1/n)^n的极限是e，（n-∞)。
设f(n)=(1+1/n)^n
两边取自然对数ln[(1+1/n)^n]=n×ln(1+1/n)
对n*ln(1+1/n)用罗比达法则
得lim(n×ln(1+1/n))=1 (n-∞)
所以lim(1+1/n)^n=e，（n-∞)
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限等等。
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(1+1/n)^n的极限是e，其中e是数学常数，约等于2.71828。
① 知识点定义来源&讲解：
这个问题涉及到数学分析中的极限概念。一个数列的极限指的是当数列中的元素趋于无穷大时，数列的极限是一个固定的值。在这个问题中，我们考虑的是数列 (1+1/n)^n 的极限，其中 n 是一个无穷大的正整数。
这个极限通常被称为自然对数的底数 e。e 是一个无理数，它是数学中一个非常重要的常数。e 是一个常见的指数函数的底数，出现在很多与增长和衰减有关的数学问题中。
② 知识点运用：
这个极限在许多领域有广泛的应用，特别是在利率、复利和指数增长的问题中。它在金融、物理学、生物学以及其他科学领域都有实际应用。在数学分析中，e 的定义还可用于推导微积分中的一些重要公式和定理。
③ 知识点例题讲解：
让我们用一个具体的例子来说明这个问题。假设 n = 1000，我们可以计算出：
(1+1/1000)^1000 ≈ 2.71828
根据定义，当 n 趋于无穷大时，数列 (1+1/n)^n 的极限就是 e，所以无论 n 取多大的值，这个数列都会趋近于 e。这个例子中的计算结果非常接近 e，验证了这一点。
所以，(1+1/n)^n 的极限为 e。
数学上通过极限的方式来定义自然指数的底数是为了保持其连续性和一致性。自然指数的底数e有许多重要的性质和应用，它在微积分、概率论、复数分析等领域中广泛应用。
