求x^2（y(4-x-y)）在由直线x+y=6与两坐标轴围成闭区域D上的最大值最小值
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解:(1)先求函数在D内的驻点.
f`x=2xy(4-x-y)-(x^2)y=0,f`y=(x^2)(4-x-y)-(x^2)y=0
得x=0(0<=y<=6)及点(4,0),(2,1)
在D内只有唯一驻点(2,1),f(2,1)=4
(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x=0(0<=y<=6)和y=0(0<=x<=6)上f(x,y)=0
在边界x+y=6上,y=6-x代入f(x,y)中,得
f(x,y)=(x^2)(6-x)(-2)=2x^3-12x^2,
所以f`x=6x^2-24x=0
解得x0=0(前已讨论过),x=4,则y=2,f(4,2)=-64
f(2,1)=4最大,f(4,2)=-64最小.
f`x=2xy(4-x-y)-(x^2)y=0,f`y=(x^2)(4-x-y)-(x^2)y=0
得x=0(0<=y<=6)及点(4,0),(2,1)
在D内只有唯一驻点(2,1),f(2,1)=4
(2)再求f(x,y)在D的边界上的最值.
在边界x=0(0<=y<=6)和y=0(0<=x<=6)上f(x,y)=0
在边界x+y=6上,y=6-x代入f(x,y)中,得
f(x,y)=(x^2)(6-x)(-2)=2x^3-12x^2,
所以f`x=6x^2-24x=0
解得x0=0(前已讨论过),x=4,则y=2,f(4,2)=-64
f(2,1)=4最大,f(4,2)=-64最小.
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