Question

求二元函数f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+21的极值

Answer 1

对二元函数f分别对x，y求偏导数，有：
f'x(x,y)=2x-y+9;
f'y(x,y)=-x+2y-6,
令f'x(x,y)= f'y(x,y)=0，则有：
y-2x=9，……(1)
2y-x=6，……(2)
由方程(1)、(2)可求出：
x0=-4，y0=1。
根据二元函数的极值判断规则，有：
A=f''xx=2；
B=f''xy=-1；
C=f''yy=2.
此时△=B^2-A*C=(-1)^2-2*2=-3＜0，
又因为A=2>0,所以该二元函数有最小值，则函数的极值为：
f(x,y)min=f(x0,y0)
=x0^2-x0* y0+y0^2+9*x0-6y0+21
=(-4)^2-(-4)*1+1^2+9*(-4)-6*1+21
=0.

Answer 2

f(x,y)=x^2-(y-9)x+y^2-6y+21
=[x-(y-9)/2]^2+(3/4)*y^2-(3/2)*y+3/4
=[x-(y-9)/2]^2+(3/4)*(y^2-2y+1)
=[x-(y-9)/2]^2+(3/4)*(y-1)^2
>=0

当y=1，x=-4时，f(x,y)取到极小值0