这个不定积分怎么求啊?

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数学刘哥
2022-10-23 · 知道合伙人教育行家
数学刘哥
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这个不定积分没有初等函数表示,原题目是否不用求不定积分,或者题目有问题

吉禄学阁

2023-05-12 · 吉禄学阁,来自davidee的共享
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  • 例如∫(sinx)^4dx

  • =∫[(1/2)(1-cos2x]^2dx

    =(1/4)∫[1-2cos2x+(cos2x)^2]dx

    =(1/4)∫[1-2cos2x+(1/2)(1+cos4x)]dx

    =(3/8)∫dx-(1/2)∫cos2xdx+(1/8)∫cos4xdx

    =(3/8)∫dx-(1/4)∫cos2xd2x+(1/32)∫cos4xd4x

    =(3/8)x-(1/4)sin2x+(1/32)sin4x+C。

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  • 例如∫lntanx/(sinxcosx)dx

  • 分子分母同除以cos²x

    =∫sec²x*lntanx/tanxdx

    =∫lntanx/tanx d(tanx)

    =∫lntanxd(lntanx)

    =(1/2)ln²(tanx)+C。

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  • 例如∫cscxdx

  • =∫1/sinxdx

    =∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx,两倍角公式

    =∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)

    =∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)

    =∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C

    =ln|tan(x/2)|+C。

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  • 求不定积分的目的

  • 求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

    如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)+C就是f(x)的不定积分,即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

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  • 不定积分的性质

  • 一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

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