设A为n阶方阵,且|A|=0,A*是A的伴随阵,证明:A*的秩只能是0或1
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首先|A|=0说明A的秩rank(A)不大于n-1；
若rank(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A^*的定义知A^*=0；
若rank(A)等于n-1,则由A·A^* = |A|·E_n （n阶单位方阵）知,A·A^* = 0.但是由不等式
rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) - n
知,
0 = rank(A·A^*) ≥ rank(A) + rank(A^*) - n = n-1 + rank(A^*) -n = rank(A^*) -1
即rank(A^*) ≤ 1
若rank(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A^*的定义知A^*=0；
若rank(A)等于n-1,则由A·A^* = |A|·E_n （n阶单位方阵）知,A·A^* = 0.但是由不等式
rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) - n
知,
0 = rank(A·A^*) ≥ rank(A) + rank(A^*) - n = n-1 + rank(A^*) -n = rank(A^*) -1
即rank(A^*) ≤ 1
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