Question

一元函数可导必连续吗？

Answer 1

在一元微积分中，有一个广为人知的结论：一元函数在一点可导，必在该点连续，即可导必连续。那么自然会有这样一个问题：

一元函数在一点可导能否推出它在该点的一个小邻域连续呢？
这个想法是很自然的，不严格的思考可能会认为应该是对的,但是它并不成立。下面给出一个反例：

[公式]

其中[公式]为Dirichlet函数。

容易验证函数[公式]在[公式]处可导，但在[公式]处不连续，从而否定了上述问题。

最后，类似地，我们还可以通过Dirichlet函数构造[公式]上一些仅在有限个点连续的函数。也可以通过周期函数构造仅在所有整数点连续的函数。但是由Baire纲定理可以证明，不存在在所有有理数点连续，无理点间断的函数。最后Riemann函数给出了一个在所有有理数点间断，无理点连续的函数。这些反例使得人们对函数连续的概念有了更感性的认识。