Question

3个数分别是2的倍数.3的倍数.6的倍数其和为600共有多少种组

Answer 1

【设定】
我们讨论倍数关系时，一般只限于正整数范围内。
【前置推断】
如果我们把2的倍数写成2a、3的倍数写成3b、6的倍数写成6c（a、b、c均为正整数），则有：
2a+3b+6c=600
2a=600-3b-6c=3×(200-b-2c)
即：a必是3的倍数，2a也是6的倍数；
3b=600-2a-6c=2×(300-a-3c)
即：b必是2的倍数，3b也是6的倍数。
因此，该题实质上就是：3个数都是6的倍数，其和为600，有多少种组合。
也可改换成：3个正整数的和为100，有多少种组合。
【解】
因为题中只考虑组合方式，不考虑a、b、c三个数的排列顺序，因此，我们假定a≤b≤c。
则：1≤a≤100÷3，即a有1～33这33种取值。
当a=n时，则n≤b≤c。我们可以认为：先给b、c各分配n，剩下100-3n再分配给b、c且b≤c。
二分法为(100-3n)÷2+1，因为(100-3n)÷2不一定为整数，则需要分别讨论：
当n为奇数时，100-3n为奇数，共有：(100-3n)÷2+0.5种；
比如n=31，b+c可以有：31+38、32+37、33+36、34+35共4种，(100-3×31)÷2+0.5=4
当n为偶数时，100-3n为偶数，共有：(100-3n)÷2+1种；
比如n=32，b+c可以有：32+36、33+35、34+34共3种，(100-3×32)÷2+1=3
提取通项公式为：An=(100-3n)/2+0.75+(-1)ⁿ×0.25
则：Σ₍n₌₁₎⁽³³⁾An=100÷2×33-(3/2)×33×(33+1)/2+0.75×33-0.25
【注】n取值1～33，有17个奇数、16个偶数，所以最后是(-0.25)×17+0.25×16=-0.25
=1650-841.5+24.75-0.25=833（种）