Question

广义零点定理怎么证明

Answer 1

证明：不妨设
f(b)>0，令
E={x|f(x)≤0，x∈[a,b]}。
由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
存在ξ=supE∈[a、b]，
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a、b)），事实上，
(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a、b)，由函数连续的局部保号性知
存在δ>0，对x1∈(ξ,ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE，
这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a,b]，仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0，对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。