Question

设f(x)在[a，b]上连续，f(a)＜a，f(b)＞b。试证至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)=ξ

Answer 1

【答案】：设F(x)=f(x)-x，由题设f(x)为[a，b]上的连续函数，可知F(x)为[a，b]上的连续函数
由于f(a)＜a，f(b)＞b，可知
F(a)=f(a)-a＜0,F(b)=f(b)-b＞0由连续函数的零点定理可知至少存在一点ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ。