[初中几何中的最值问题]初中几何求最值的方法
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几何中的最值问题是中考热点之一.解决这类问题往往需要用到两个“基本知识点”：两点之间线段最短和垂线段最短；两种“基本方法”：找对称点和平移；一种“基本思想”，转化的思想.我们要紧紧抓住这三点，以题变解题思维不变来应对这一类题型.
数学模型1：两点之间线段最短
① A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使PA+PB最小.
作法：连结AB交l于P，此点P即为所求.
② 如图，A，B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小.
分析 要解决这个问题，就是把同侧的两点转化成异侧的两点.只要找出点A关于直线l的对称点A，就可转化成①中的问题.
数学模型2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.
3. 已知：直线l和直线l外一点P，在直线l上求一点A，使PA最短.分析 根据“垂线段最短”
实际运用：
（1）一条笔直的公路同侧分别有A、B两个村庄，如图：现在要在公路L上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村庄的距离之和最小，请在图中找出汽车站的位置.分析 运用数学模型1中的②
（2） A，B两厂在一条河的同侧，拟在河边建一污水处理厂C，要求：A厂的污水经B厂连同B厂的一起排到河边污水处理厂C，要使铺设的管道的最短，请在图中找出污水处理厂C的位置.分析 从A到B只要根据“线段最短”，连接AB即可；从B到直线，根据“垂线段最短”，作BC垂直于直线，即可找出污水处理厂C.
知识拓展：
1. 直线l和l相交于点P，在直线l和l的交角内有一点A，在直线l、l上分别求一点B、C，使线段AB、BC、CA的和最小.
分析 本题中的最小值问题，所涉及的路径是由三条线段连接而成，将三条线段转化到一条直线上，根据两点之间线段最短即可求.
作法：
① 取点A关于直线L1的对称点A，点A关于直线l的对称点A2.
② 连结AA分别交直线l、l于B、C两点.
③ 连结AB、AC，此时AB与BC、AC的和最小.点B、C即为所求.2. 直线l∥直线l，并且l与l之间的距离为d，点A和点B分别在直线l、l的两侧，在直线l、l上分别求一点M、N，使AM、MN、NB的和最小.
分析 本题是研究AM＋MN＋NB最短时的M、N的取法，而MN是定值，所以问题集中在研究AM＋NB最小上.但AM、NB不能衔接，可将MN平移AA处，则AM＋NB可转化为AN＋BN，要AN＋BN使最短，显然，A、N、B三点要在同一条直线上.
作法：
① 将点A向下平移d个单位到A
② 连结AB交l于点N
③ 过N作NM⊥L，垂足为M
④ 连结AM，则线段AM、MN、NB的和最小.点M、N即为所求.
3. 直线l的同侧有两点A、B，在直线l上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧.
分析 本题是研究AC+CD+DB的和最小，CD是定值，将三条线段的和转化成求AC+BD的最值，只要将AC向右平移a，即转化成数学模型1.
作法：
① 将点A向右平移a个单位到A
② 作点B关于直线l的对称点B
③ 连结AB交直线L于点D
④ 过点A作AC∥AD交直线l于点C，连结BD，则线段AC、CD、DB的和最小.点C、D即为所求.
中考链接：
1、（2011年?福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax－3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：
y=x+ 对称.
（1） 求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2） 求二次函数解析式；
（3） 过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值.
分析 （1）、（2）略
（3） 点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB（两点之间线段最短），HN+NM+MK的最小值就转化为MB+MK的最小值（数学模型1②），作点K关于直线AH的对称点Q，BM+MK的最小值是BQ，即：BQ的长是HN+NM+MK的最小值.
2. （2011年?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形.
（1） 直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2） 动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH.设点P的运动时间为t秒.
① 若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
② 点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最
小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由.
分析：
（1）、（2）① 略
② 连接BP、CH，四边形BPHC是平行四边形，BP=CH，BP+PH+HQ的最小值就转化为CH+HQ的最小值，根据两点之间线段最短，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ最小，即可找出H点，从而找出P点.
3. （2010年?南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.
（1） 求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2） 以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3） 设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.
分析 （1）、（2） 略
（3）过点P作PH⊥L，△PDO的周长最小，因为OD是定值，通过计算OP=PH，所以只要PH+PD最小，根据数学模型2，垂线段最短可知，当D、P、H三点共线时，PH+PD最小.
数学模型1：两点之间线段最短
① A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使PA+PB最小.
作法：连结AB交l于P，此点P即为所求.
② 如图，A，B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小.
分析 要解决这个问题，就是把同侧的两点转化成异侧的两点.只要找出点A关于直线l的对称点A，就可转化成①中的问题.
数学模型2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.
3. 已知：直线l和直线l外一点P，在直线l上求一点A，使PA最短.分析 根据“垂线段最短”
实际运用：
（1）一条笔直的公路同侧分别有A、B两个村庄，如图：现在要在公路L上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村庄的距离之和最小，请在图中找出汽车站的位置.分析 运用数学模型1中的②
（2） A，B两厂在一条河的同侧，拟在河边建一污水处理厂C，要求：A厂的污水经B厂连同B厂的一起排到河边污水处理厂C，要使铺设的管道的最短，请在图中找出污水处理厂C的位置.分析 从A到B只要根据“线段最短”，连接AB即可；从B到直线，根据“垂线段最短”，作BC垂直于直线，即可找出污水处理厂C.
知识拓展：
1. 直线l和l相交于点P，在直线l和l的交角内有一点A，在直线l、l上分别求一点B、C，使线段AB、BC、CA的和最小.
分析 本题中的最小值问题，所涉及的路径是由三条线段连接而成，将三条线段转化到一条直线上，根据两点之间线段最短即可求.
作法：
① 取点A关于直线L1的对称点A，点A关于直线l的对称点A2.
② 连结AA分别交直线l、l于B、C两点.
③ 连结AB、AC，此时AB与BC、AC的和最小.点B、C即为所求.2. 直线l∥直线l，并且l与l之间的距离为d，点A和点B分别在直线l、l的两侧，在直线l、l上分别求一点M、N，使AM、MN、NB的和最小.
分析 本题是研究AM＋MN＋NB最短时的M、N的取法，而MN是定值，所以问题集中在研究AM＋NB最小上.但AM、NB不能衔接，可将MN平移AA处，则AM＋NB可转化为AN＋BN，要AN＋BN使最短，显然，A、N、B三点要在同一条直线上.
作法：
① 将点A向下平移d个单位到A
② 连结AB交l于点N
③ 过N作NM⊥L，垂足为M
④ 连结AM，则线段AM、MN、NB的和最小.点M、N即为所求.
3. 直线l的同侧有两点A、B，在直线l上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧.
分析 本题是研究AC+CD+DB的和最小，CD是定值，将三条线段的和转化成求AC+BD的最值，只要将AC向右平移a，即转化成数学模型1.
作法：
① 将点A向右平移a个单位到A
② 作点B关于直线l的对称点B
③ 连结AB交直线L于点D
④ 过点A作AC∥AD交直线l于点C，连结BD，则线段AC、CD、DB的和最小.点C、D即为所求.
中考链接：
1、（2011年?福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax－3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：
y=x+ 对称.
（1） 求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2） 求二次函数解析式；
（3） 过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值.
分析 （1）、（2）略
（3） 点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB（两点之间线段最短），HN+NM+MK的最小值就转化为MB+MK的最小值（数学模型1②），作点K关于直线AH的对称点Q，BM+MK的最小值是BQ，即：BQ的长是HN+NM+MK的最小值.
2. （2011年?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形.
（1） 直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；
（2） 动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH.设点P的运动时间为t秒.
① 若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；
② 点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最
小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由.
分析：
（1）、（2）① 略
② 连接BP、CH，四边形BPHC是平行四边形，BP=CH，BP+PH+HQ的最小值就转化为CH+HQ的最小值，根据两点之间线段最短，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ最小，即可找出H点，从而找出P点.
3. （2010年?南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.
（1） 求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2） 以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3） 设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.
分析 （1）、（2） 略
（3）过点P作PH⊥L，△PDO的周长最小，因为OD是定值，通过计算OP=PH，所以只要PH+PD最小，根据数学模型2，垂线段最短可知，当D、P、H三点共线时，PH+PD最小.
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