2.已知函数 f(x)=xe^(-x)-a,(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点?
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(1) 讨论f(x)的单调性
首先,求出f(x)的导数:
f'(x) = e^(-x) - xe^(-x)
令f'(x) = 0,得到:
e^(-x) - xe^(-x) = 0
e^(-x)(1 - x) = 0
因为e^(-x)不等于0,所以只有当1 - x = 0时,方程才有解。
解得x = 1。
当x < 1时,f'(x) < 0;
当x > 1时,f'(x) > 0。
因此,当x < 1时,f(x)单调递减;当x > 1时,f(x)单调递增。
(2) 若f(x)有两个零点
由题可知,f(x)有两个零点,分别设为x1和x2,且x1 < x2。
根据题意,可以列出方程:
xe^(-x) - a = 0
解得:
x = a/e^(-x)
因为f(x)在x1和x2处为零,所以有:
x1e^(-x1) = a
x2e^(-x2) = a
将两式相除,得到:
x1/x2 = e^(x2 - x1)
因为x1 < x2,所以e^(x2 - x1) > 1,所以x1/x2 > 1。
因此,x1 > x2,与x1 < x2矛盾。
因此,假设不成立,原命题成立:f(x)不存在两个零点。
首先,求出f(x)的导数:
f'(x) = e^(-x) - xe^(-x)
令f'(x) = 0,得到:
e^(-x) - xe^(-x) = 0
e^(-x)(1 - x) = 0
因为e^(-x)不等于0,所以只有当1 - x = 0时,方程才有解。
解得x = 1。
当x < 1时,f'(x) < 0;
当x > 1时,f'(x) > 0。
因此,当x < 1时,f(x)单调递减;当x > 1时,f(x)单调递增。
(2) 若f(x)有两个零点
由题可知,f(x)有两个零点,分别设为x1和x2,且x1 < x2。
根据题意,可以列出方程:
xe^(-x) - a = 0
解得:
x = a/e^(-x)
因为f(x)在x1和x2处为零,所以有:
x1e^(-x1) = a
x2e^(-x2) = a
将两式相除,得到:
x1/x2 = e^(x2 - x1)
因为x1 < x2,所以e^(x2 - x1) > 1,所以x1/x2 > 1。
因此,x1 > x2,与x1 < x2矛盾。
因此,假设不成立,原命题成立:f(x)不存在两个零点。
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