Question

证明方程x3-3x2-9x+1=0在(0，1)内有唯一的实根。

Answer 1

【答案】：[证明] 设f(x)=x³-3x²-9x+1，由初等函数的连续性知该函数在[0，1]上连续，又f(0)=1，f(1)=-10，即f(0)·f(1)＜0，
由闭区间上连续函数的零点定理可知，f(x)在(0，1)内至少有一个零点。
又由f'(x)=3x²-6x-9=3(x-3)(x+1)＜0(0＜x＜1)
可知f(x)在(0，1)上为单调减少函数，因此，f(x)在(0，1)内至多只有一个零点，故方程x³-3x²-9x+1=0在(0，1)内有唯一的实根。