Question

如何利用三角函数和不定积分公式计算积分

Answer 1

计算过程如下：

设t=tan(x/2)

则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]

=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]

=(1-t²)/(1+t²)

dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)

故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]

=∫2dt/(3+t²)

=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]

=2/√3arctan(t/√3)+C

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C