Question

已知矩阵A=（-2,1,2 -5,3,2 1,0,2），判定A是否可以相似对角化？并说明理由

Answer 1

为了判定为了判定矩阵 A 是否可以相似对角化，我们需要做以下几个步骤：

1.计算矩阵 A 的特征多项式和特征值。

首先，计算矩阵 A 的特征多项式：

|λ+2 -1 -2 |

|-5 λ-3 -2 | = (λ-1)(λ-2)(λ+2)

| -1 0 λ-2|
然后，解出特征多项式的根，即矩阵 A 的特征值：

λ1 = 1，λ2 = 2，λ3 = -2

2.计算每个特征值对应的特征向量。
接下来，我们需要计算每个特征值对应的特征向量。对于每个特征值，我们需要解出方程组 (A-λI)x=0。
具体来说：

当 λ=1 时，解方程组得到特征向量 x1 = (1, -1, 1)T。

当 λ=2 时，解方程组得到特征向量 x2 = (2, 2, 1)T。
3.判断矩阵 A 是否可以相似对角化。

根据矩阵相似的定义，如果存在可逆矩阵 P，使得 P^(-1)AP=D，其中 D 是对角矩阵，则矩阵 A 可以相似对角化。换句话说，如果存在足够多的线性无关的特征向量，能够构成可逆矩阵 P，则矩阵 A 可以相似对角化。

我们将计算出的特征向量按列组成矩阵 P = (x1, x2, x3)，则有：

P = (1, 2, -1 | -1, 2, 1 | 1, 1, -1)
计算可得 P 的行列式不为 0，因此 P 是可逆矩阵。同时，P^(-1)AP=D，其中 D 是由 A 的特征值组成的对角矩阵：

D = (1, 0, 0 | 0, 2, 0 | 0, 0, -2)

因此，矩阵 A 可以相似对角化。

综上所述，矩阵 A 可以相似对角化，且对角化矩阵 D 和可逆矩阵 P 可以通过矩阵 A 的特征值和特征向量计算得到。