Question

设数列{an}中,a1=1,an+1=an+n+1,则通项公式an=？

Answer 1

我们可以使用数学归纳法来证明通项公式an=n(n+1)/2。
首先，当n=1时，a1=1，这满足初始条件。
接着，假设对于任意的k∈N，都有ak=k(k+1)/2成立。我们来证明对于k+1也成立。
根据递推式an+1=an+n+1和归纳假设，我们有：
an+1 = an + n + 1
= k(k+1)/2 + k + 1 （根据归纳假设，将an替换为k(k+1)/2）
= (k^2 + k + 2k + 2)/2
= (k+1)(k+2)/2
因此，对于任意的正整数n，通项公式为an=n(n+1)/2。

Answer 2

an=n+a(n-1)
=n+(n-1)+a(n-2)
=……
=n+(n-1)+……+1
=n(n+1)/2