Question

函数在分段点处可导吗

Answer 1

分段函数求导的三种方法如下：定义求分界点处的导数或左右导数。按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数。分界点是连续点时，求导函数在分界点出的极限值。

1、定义求分界点处的导数或左右导数。

定义求分界点处的导数或左右导数，在满足该定理条件之下，可利用该定理结论求出与，然后比较与是否相等，从而得出在处是否可导的结论。这样，就避免了用导数定义求左、右导数的麻烦。该定理要求在处连续。事实上，若在处不连续，由连续与可导关系知，不连续一定不可导，由此可得出在处不可导的结论。因此应用该定理结论时，应判断在处是否连续。

2、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数。

按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数，函数在分段点处是否连续，是运用定理的前提条件，千万不能忽略。分段点两侧导数的极限存在是分段点可导的充分而非必要条件，当函数在分段点两侧导函数在分段点处的极限不存在时，并不能因此就说函数在分段点处不可导。

3、分界点是连续点时，求导函数在分界点出的极限值。

分界点是连续点时，求导函数在分界点出的极限值，求分段点外的其它点上的导数时，如果函数在该点连续，可直接使用求导法则。在分段点处，如果直接求导数，需使用定义。如果已经判断出函数在分段点处是连续的，则直接使用求导法则求分段点处的左右导数，再判断左右导数是否相等。