Question

如何证明数列是单调有界数列？

Answer 1

解答：

1、证明数列 (1+1/n)^n 是单增数列（用二项式展开）；

2、证明数列 (1+1/n)^n 有界；

3、记该数列极限为e；

4、求 (1+1/n)^(n+1),(1+1/n)^(n-1) 的极限；

5、将 (1+1/x)^x 用夹逼准则放在上面几个数列极限之间即可。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。