Question

如有齐次差分方程为y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=0，已知y[0]=3，y[1]=1，试求其齐次解。

Answer 1

【答案】：其特征方程为 λ²+λ-6=0
其特征根为λ₁=3，λ₂=2。其齐次解为
y_h[n]=A₁(-3)ⁿ+A₂(2)ⁿ
将初始状态y[0]=3，y[1]=1代入上式，有
y[0]=y_h[0]=A₁(-3)⁰+A₂(2)⁰=3
y[1]=y_h[1]=-3A₁+2A₂=1
联立以上两式可解得 A₁=1，A₂=2
于是齐次解为
y_h[n]=(-3)ⁿ+2ⁿ⁺¹[知识点分析]主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。
[逻辑推理]首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求特征根，代入条件即可求得齐次解。