Question

怎么解同余方程组？

Answer 1

解同余方程组：x≡6(mod11) x≡3(mod 8 ) x≡11(mod20)

等效于同余式组
(
x==6 mod 11 (#1#)
x==3 mod 8 (#2#)
x==11 mod 4 (#3#)
x==11 mod 5 (#4#)
其中,用==表示同余号.
)
即求他们的解集的交集.
其中 (#2#)的解集是(#3#)的解集的真子集.故原同余式组等效于
(
x==6 mod 11 (#1#)
x==3 mod 8 (#2#)
x==1 mod 5 (#4#转化而来)
)
后文详解得答案为
x==171 mod 440.

过程如下：
x==
(6/ (8*5) mod 11) *8*5+
(3/ (11*5) mod 8) *11*5+
(1/ (11*8) mod 5) *11*8
（
注1：其中 x== b/a mod m 用来简化表示 ax == b mod m.我首次见到是在洪伯阳先生的著作中,我常称之为洪伯阳同余表示.在其分子与分母上可以使用同余性质、比例性质、带分数性质即作为假分数、带分数来处理等等.后来发现其他著作中也有,时间先后我没有考证.
下面为表达与计算上的方便,采用我个人引入的模积表示法.我察觉到其形式的对称性,并考虑到了计算的对称性及其同余本质,十分方便计算.以下使用模积表示式进行计算.
注2：上式简化表示为以下形式,称为模积表示.为方便理解写了很多.实际上,有很多过程用心算来完成,可以快速得解.
(
6/ (8*5) @ 11)
3/ (11*5) @ 8)
1/ (11*8) @ 5
)
）
==
6/ -4 @ 11
3/-1 @ 8
1/3 @5
==
-3/2==(-3+11)/2=4 @ 11
-3 @ 8
(1+5)/3=2 @ 5
==
4 @ 11
-3 @ 8
2 @ 5
==
4*8-3*11 @ 8*11
2 @5
==
-1 @ 88
2 @ 5
==
176-5 mod 88*5
==171 mod 440

理解了这种方法,对中国剩余定理的本质就更深入一步了.
更多资料,请百度搜索
wsktuuytyh 模积计数法
或
wsktuuytyh 洪伯阳同余表示
或
wsktuuytyh 不定方程
(注：其中来源我的现有姓名何冬州的五笔编码)

事实上,容易看出等效于
x==
6 mod 11
11 mod 8
11 mod 20
==
6 mod 11
11 mod 40
==
11+
(y==
-5 mod 11
0 mod 40
)

y==
-5/40 @ 11
0/11 @ 40
==
6/-4 @ 11
0 @ 40
==
4 @ 11
0 @ 40
==160
X==11+Y==171 MOD 440