Question

已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:

⑴求y=f(x)的定义域;
⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

Answer 1

(1)a^x-b^x>0,a^x>b^x,
因为b^x>0,所以：(a/b)^x>1,
因为a>1>b>0，所以a/b>1
(a/b)^x>1=(a/b)^0,
{x|x>0}

(2)使得过这两点的直线平行于x轴,即：存在某个函数值对应至少两个x
y=a^x是增函数，y=-b^x是增函数，所以y=a^x-b^x是增函数，所以f(x)是增函数，因为是单调函数，所以不存在这样的两点！

（3）因为f(x)是增函数，因此只需f(1)≥0即可。
lg(a-b)≥0＝lg1,a-b≥1,a≥1+b

Answer 2

　　解：（1）由a^x-b^x＞0得( a/b)^x＞1=( a/b)^0，由于( a/b)＞1所以x＞0，
即f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
f(x1)=lg(a^x1-b^x1)，f(x2)=lg(a^x2-b^x2),f(x1)-f(x2)=(a^x1-b^x1)-(a^x2-b^x2)=(a^x1-a^x2)+(b^x2-b^x1)
∵a＞1＞b＞0，
∴y=a^x在R上为增函数，y=b^x在R上为减函数，
∴a^x1-a^x2＜0，b^x2-b^x1＜0
∴(a^x1-b^x1)-(a^x2-b^x2)＜0，即(a^x1-b^x1)＜(a^x2-b^x2)
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
这样只需f（1）=lg^（a-b）≥0，
即当a-b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．