Question

如果p是素数,a,b是整数,若p不整除a,b则p不整除于ab？

如何证明

Answer 1

假设 p 是一个素数，a,b 是整数，并且 p 不整除 a,b，我们要证明 p 不整除 ab。

根据整除的定义，如果一个整数 a 能够被 p 整除，那么必然存在一个整数 m，使得 a=pm。因此，我们可以将 ab 表示为 a×b。则：

• 如果 p 不整除 a，也不整除 b，那么 p 一定不整除 ab，因为不存在整数 m 使 ab=pm。

• 如果 p 不整除 a，但整除 b，那么 b=pk，其中 k 是一个整数。因此，ab=apk，即 ab 可以被表示成 p 乘以一个整数 ak。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。

• 如果 p 不整除 b，但整除 a，那么 a=pl，其中 l 是一个整数。同样，ab 可以被表示成 p 乘以一个整数 bl，即 ab=plb。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。

• 如果 p 同时整除 a,b，那么 ab 可以表示成 ab=p2×k，其中 k 是一个整数。因此，ab 可以被表示成 p 乘以整数 pk。因为 p 是一个素数，所以可以证明 p 一定整除 ab。

综上所述，当 p 是一个素数，a,b 是整数，并且 p 不整除 a,b 时，p 一定不整除 ab。