Question

根式√b+5与√a+3是可合并的最简二次根式,则b+a的值为多少？

Answer 1

因为根式√b+5与√a+3是可合并的最简二次根式，所以它们可以表示为：
√b+5 = k√a+3
其中k是一个常数。
将等式两边平方，得到：
b + 5 = k^2(a + 3)
又因为b和a都是正数，所以k也必须是正数。
同样地，将根式√a+3表示成√b+5的形式，得到：
√a+3 = m√b+5
其中m是一个常数。
将等式两边平方，得到：
a + 3 = m^2(b + 5)
同样地，m也必须是正数。
现在我们有两个方程式：
b + 5 = k^2(a + 3)
a + 3 = m^2(b + 5)
将第一个方程式中的b代入第二个方程式中，得到：
a + 3 = m^2(k^2(a + 3) + 5)
化简得到：
a + 3 = k^2m^2a + 3k^2m^2 + 5m^2
移项得到：
(k^2m^2 - 1)a = 5m^2 - 3k^2m^2
因为a和b都是正数，所以k和m必须是正数。又因为根式√b+5与√a+3是最简二次根式，所以k和m必须是互质的。因此，k和m只能是1。
将k=m=1代入原来的方程式中，得到：
√b+5 = √a+3
两边平方，得到：
b + 5 = a + 3
因此，b + a = 3 + 5 = 8。
所以b + a的值为8。