Question

幂级数是怎么定义的？

Answer 1

得 f'(x)=∑<n=0,∞>(n+2)x^(n+1), f''(x)=∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n,于是，幂级数。

若是，则

记 f(x)=∑<n=0,∞> x^(n+2)=x^2+x^3+x^4+...=x^2/(1-x) (-1<x<1)

得 f'(x)=∑<n=0,∞>(n+2)x^(n+1), f''(x)=∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n，

于是，幂级数 ∑<n=0,∞>(n+1)(n+2)x^n 的和函数是

g(x)=f''(x)=[1/(1-x)-(1+x)]''=[1/(1-x)^2-1]'=2/(1-x)^3. (-1<x<1)。

在形式幂级数中，x从来不指定一个数值，且对收敛和发散的问题不感兴趣，感兴趣的是系数序列（a(0),a(1),...,a(n),...），我们研究形式幂级数完全可以归结为讨论这些系数序列，且这些系数序列又可看作含有分量a(0),a(1),...,a(n),...的无穷矢量，系数a(0)称为级数的常数系数。

用近世代数的语言来讲，形式幂级数形成一个环，这个环对加法有零元（用0表示），对乘法有单位元（用1表示），如果从某项以后，形式幂级数的所有系数全为零，它被称为形式多项式。

以上内容参考：百度百科-形式幂级数