Question

已知函数f(X)是定义在[-1,1]上的函数,若对于任意x,y∈[-1，1]都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0时f(x)>0

(1)判断函数的奇偶性
（2）判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数 还是减函数 并证明
（3）设f(1)=1,若f(x)<m的平方-2am+1 对所有x∈[-1,1],a∈[-1，1]恒成立 求实数m的取值范围

希望有详细的解答 谢谢

Answer 1

解:(1)∵函数f(x)是定义在[-1,1]上的函数,
∴令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
即函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数.
(2)函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数．
理由是:设任意x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),
∵x1<x2,∴x2-x1>0,
∴f(x2-x1)>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数．
(3)∵f(x)在在[-1,1]上递增,
∴ 当x∈[-1，1]时，f(x)≤f(1)=1
由若f(x)≤m^2-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]时恒成立
得，对所有a∈[-1,1]时，1≤m^2-2am+1
即m^2-2am≥0恒成立
令g(a)=-2ma+m^2
当a=1时,有g(1)=-2m+m^2,
当a=-1时,有g(-1)=2m+m^2,
解得m≤-2或m=0或m≥2
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞]

Answer 2

（1）设X=Y=0，则可得f（0）=0
再设y=-x，所以f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)，奇函数。

Answer 3

(2)f(x+y)=f(x)+f(y)移项可得
f(x+y)-f(x)=f(y),可变形为f(x)-f(y)=f(x-y),
再设1>x2>x1>-1
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2>x1，所以x2-x1>0
又因为x>0时f(x)>0
所以f(x2-x1)>0，所以f(x2)-f(x1）>0
所以是增函数