Question

什么是均值不等式？

Answer 1

在数学中，均值不等式包括了一些常用的基本公式。以下是其中的六个基本公式：
1. 算术平均数和几何平均数的关系：
对于非负实数a和b，它们的算术平均数（记为A）和几何平均数（记为G）满足 A ≥ G，等号成立当且仅当a = b。
2. 平均值不等式：
对于非负实数a1, a2, ..., an，它们的算术平均数A和几何平均数G，满足 A ≥ G，等号成立当且仅当a1 = a2 = ... = an。
3. 加权平均值不等式：
对于非负实数a1, a2, ..., an和正实数w1, w2, ..., wn，它们的加权算术平均数（记为AW）和加权几何平均数（记为GW）满足 AW ≥ GW，等号成立当且仅当a1/w1 = a2/w2 = ... = an/wn。
4. 两个正数的均值不等式：
对于正实数a和b，它们的算术平均数A和几何平均数G，满足 A ≥ G，等号成立当且仅当a = b。
5. 两个正数的调和平均数和几何平均数的关系：
对于正实数a和b，它们的几何平均数G和调和平均数H，满足 G ≥ H，等号成立当且仅当a = b。
6. 两个正数的调和平均数和算术平均数的关系：
对于非零正实数a和b，它们的调和平均数H和算术平均数A，满足 H ≤ A，等号成立当且仅当a = b。
这六个基本公式是常见的均值不等式，在数学证明和问题求解中经常被使用。