Question

在一个区间上连续可导的函数一定是极值点嘛？

Answer 1

一定是的

不妨用反证法

设函数f(x)在区间[a,b]连续可导,有唯一极值点c,但其不是最值点

不妨设c点为极大值点但不是最大值点,设最大值点为d

若d>c ,考察区间[c,d],f(x)在区间[c,d]连续可导,所以f(x)在[c,d]中有最小值e

显然e不等于d,又因c是[a,b]上的极大值点,存在c的某个邻域内函数值均小于f(c)

所以c也不是[c,d]区间的最小值点,所以存在e∈(c,d)为[c,d]中最小值

所以e也是[a,b]区间的极小值点,与c是唯一极值点矛盾.

所以证明成立  ，在开区间的话也同理可得出结论。

扩展资料

极值的求法：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。