Question

且AB =0,求线性方程组Ax=0的通解.AB=AB3,b,c,A1.当 kq9 时,秩B=2,于

为什么秩A+秩B小于等于3？

Answer 1

根据矩阵乘法的性质，若AB = 0AB=0且B \neq 0B=0，则AA的行空间包含在BB的零空间中。因此，Ax=0Ax=0的解空间是AA的列空间的补空间与BB的零空间的交空间。

又因为AB=AB^3AB=AB3，所以AB(1-B^2)=0AB(1−B2)=0，即AB=0AB=0或B^2=1B2=1。因为B\neq 0B=0，所以B^2=1B2=1，即BB是可逆矩阵。

当kq9kq9时，秩B=2B=2，因为BB是可逆矩阵，所以BB的零空间只包含零向量。因此，Ax=0Ax=0的解空间等于AA的列空间的补空间，即Ax=0Ax=0的解空间的维数为3-3−秩(A)(A)。

根据维数公式，有dim(Ax=0)=n-rank(A)dim(Ax=0)=n−rank(A)，其中nn是AA的列数，rank(A)rank(A)是AA的秩。因此，dim(Ax=0) \geq n-rank(A)dim(Ax=0)≥n−rank(A)，即rank(A)+dim(Ax=0) \leq nrank(A)+dim(Ax=0)≤n。由于n=3n=3，所以rank(A)+dim(Ax=0) \leq 3rank(A)+dim(Ax=0)≤3。

因此，AA的秩和BB的秩之和不超过33，即rank(A)+rank(B)\leq 3rank(A)+rank(B)≤3。