Question

有关对称性的数学问题

三维直角坐标系中，如果已知某一图形关于y=x面且关于x=z面对称，那么此图形关于z=y对称成立？

这是我猜想的一个命题，我不确定它是否成立，如果成立请给出证明或出处，若不成立，请举反例？

Answer 1

成立。
对属于某一图形A的任意一点m=(a,b,c)
由于A关于x=y对称 于是 m关于x=y的对称点即n=(b,a,c) 属于A ——关于x=y对称既是z坐标相同 x、y坐标换位；
同时A关于x=z对称 于是 n关于x=z的对称点即l=(c,a,b) 属于A；
依旧A关于x=y对称 于是 l关于x=y的对称点即p=(a,c,b) 属于A；

于是我们发现 m=(a,b,c)与p=(a,c,b)是关于y=z对称的
即对任意一个属于A的m 其关于y=z对称的像p都在A中 即A关于y=z对称

Answer 2

应该是成立的吧，我理解是：
关于y=x面且关于x=z面对称 也就是关于这两个面的交线对称，这两个面的交线同时也在z=y面上，关于某平面上的直线对称即是关于此平面对称．
希望能给你提供到线索．

Answer 3

成立
设图形为A，(a,b,c)属于A
由关于y=x对称得到，(b,a,c)属于A
由关于x=z对称得到，(c,a,b)属于A
再由关于y=x对称得到，(a,c,b)属于A

而(a,c,b)是(a,b,c)关于z=y的对称点
得证

Answer 4

不能确定成立；可以取z轴，z轴关于y=x面且关于x=z面对称；但不关于z=y对称成立

Answer 5

请你自己仔细想想你自己的命题。。。。同时关于两个面堆成的图形。。。而且这两个面还不相互垂直。。。。这种图形本身就很难做。。。。。。更别说同时关于三个面都对成了。。。。。