Question

高中三角函数问题、要带详细过程

已知函数f(x)=sin(x/3+π/6)+sin(x/3-π/6)+cos(x/3),y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=a(a＞0)对称,
(1)求函数y=g(x)的表达式
(2)若y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到,求正数a的最小值及此时y=g(x)的对称中心
(3)在(2)的条件下,若不等式f(x)-g(x)＞msin(π/18)恒成立,求函数y=m^2-2m+3的值域

Answer 1

f(x) = sin(x/3+π/6)+sin(x/3-π/6)+cos(x/3)
= 2sin(x/3)cos(π/6) + cos(x/3)
= 2[sin(x/3)·cos(π/6) + sin(π/6)·cos(x/3)]
= 2sin(x/3 + π/6)
“y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于直线x=a(a＞0)对称”，∴y=g(x)的表达式为：g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6]。
g(x) = 2sin[(2a-x)/3 + π/6] = 2sin{π - [(2a-x)/3 + π/6]}
= 2sin{(x/3 + π/6) + (2π/3 - 2a/3)}
g(x - π/3) = 2sin{(x/3 + π/6) + (5π/9 - 2a/3)}
若“y=f(x)的图像可以由y=g(x)的图像向右平移π/3个单位得到” ，则应有：
(5π/9 - 2a/3) = 2kπ ，k是任意整数 ，整理得：a = π·(5/6 - 3k) ，
a > 0 ，故k < 5/18 ，在此条件下 ，k可取的最大整数为 0 ，因此 ，a的最小值为：5π/6 ，此时 g(x) = 2sin[x/3 + 5π/18] ，它可以化为：
g(x) = 2sin[(x + 5π/6)/3] ，它是由 2sin(x/3) 向左平移(5π/6)个单位得到的 ，而奇函数 2sin(x/3) 的对称中心为：（ K·3π/2 ， 0 ），因此 ，
此时g(x)的对称中心为 ：（ K·3π/2 +5π/6 ， 0 ），K是任意整数。
在(2)的条件下 ，f(x)-g(x) = 2sin(x/3 + π/6) - 2sin(x/3 + 5π/18)
= -4sin(π/18)·cos(x/3 + 2π/9) ，又因为 sin(π/18) > 0 ，∴“f(x)-g(x)＞msin(π/18)恒成立”等价于 ：-4·cos(x/3 + 2π/9) > m 恒成立 ，而
cos(x/3 + 2π/9) 取1时 ，-4cos(x/3 + 2π/9)有最小值 ：-4 ，∴m的范围是：
m < -4 ，y = m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 ，∵m < -4 ，∴m - 1 < -5 ，
∴ (m - 1)^2 + 2 > (-5)^2 + 2 = 27 ，∴y=m^2-2m+3的值域：(27 ，正无穷)