Question

设a为实数，记函数f(x)=a根号(1-x^2)+根号(1+x)+根号(1-x)的最大值为g(a),求g(a)

rt，高一数学，详解，在线等，谢谢~

Answer 1

根号(1-x^2)<=[根号(1+x)+根号(1-x)]/2，当且仅当x=0取等号。
所以f(x)<=(a+1/2)[根号(1+x)+根号(1-x)]
根号(1+x)+根号(1-x)<=根号2*根号[(1-x)+(1+x)]=2，当且仅当x=0取等号。
所以f(x)<=2(a+1/2),当且仅当x=0取等号。
即g(a)=2a+1.

注，只用到重要不等式，即几何平均数<=算数平均数<=平方平均数

Answer 2

不管a的正负取巧算也可以，但楼上有低级错误。
f(x)<=(a+1/2)[根号(1+x)+根号(1-x)]这里错了，不是(a+1/2)，而是(a/2+1)

所以f(x)<=2(a/2+1),当且仅当x=0取等号。
即g(a)=a+2.

Answer 3

根号(1-x^2)<=[根号(1+x)+根号(1-x)]/2，当且仅当x=0取等号。
所以f(x)<=(a+1/2)[根号(1+x)+根号(1-x)]
根号(1+x)+根号(1-x)<=根号2*根号[(1-x)+(1+x)]=2，当且仅当x=0取等号。
所以f(x)<=2(a+1/2),当且仅当x=0取等号。
即g(a)=2a+1.
注，只用到重要不等式，即几何平均数<=算数平均数<=平方平均数