Question

初二 数学 趣味性数学题，请写详细过程 请详细解答,谢谢! (17 16:58:43)

（1）如果对不小于8的自然数n，当3n+1是完全平方数时，n+1都能表示成k个平方数的和，那么k的最小值是多少？
（2）一架飞机从A城飞往B城，然后再返回A城，在无风的情况下，它整个往返飞行的平均地速（相对于地面的速度）为每小时100英里。假设沿着从A城B城的方向笔直的刮着一股持续的大风，如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常的完全一样，这股风将对往返飞行的平均时速有何影响？
（3）数学家维纳斯今年的岁数的立方是个四位数，岁数的4次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、全都用上了，问 维纳斯的年龄是多少？

Answer 1

1
由已知3n+1是一个完全平方数，
所以我们就设3n+1=a^2，
显然a^2不是3的倍数，于是a=3k±1，
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是3.

2
设路程为Y 风为X

没风有

100英里

有风
100-
时间=Y/（100+X）+Y/（100-X） V=Y/T=1/[1/（100+X）+1/（100-X）]= （100+X）*（100-X）/100小于100 所以平均速度变小

3在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”

维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。

其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。

剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！

这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。

Answer 2

注意！（1）的答案是2。（2）中飞机的速度是（100+X）*（100-X）/200英里，是除以200，不是100！
祝你成功！

1
由已知3n+1是一个完全平方数，
所以我们就设3n+1=a^2，
显然a^2不是3的倍数，于是a=3k±1，
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是2.

2
设路程为Y 风为X

没风有

100英里

有风
时间=Y/（100+X）+Y/（100-X） V=Y/T=1/[1/（100+X）+1/（100-X）]= （100+X）*（100-X）/200小于100 所以平均速度变小

3在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”

维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。

其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。

剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！

这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人。

Answer 3

3在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”

维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了。整个会场上的人，都在议论他的年龄问题。

其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。

剩下的工作就是“一一筛选”了。20的立方是8000，有3个重复数字0，不合题意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合题意。最后只剩下一个18，是不是正确答案呢？验算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合！

Answer 4

（3）18岁