Question

一道数学题 求最值

已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1

求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合

求在[派/5，3派/4]上的最大值和最小值

Answer 1

先化简f(x)

f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1

=2cosxsinx - 2cosx^2 + 1

=sin2x - cos2x

=根号2·[sin2x·(根号2)/2 - cos2x·(根号2)/2]

=根号2·sin (2x -∏/4）

(1)f(x)最小值为：-根号2

此时sin (2x -∏/4）= - 1

则：2x -∏/4 = 2k∏ - ∏/2 ,k为整数

从而得： x = k∏ - ∏/8,k 为整数

即 {x|x = k∏ - ∏/8,k 为整数}

(2) x 在[∏/5，3∏/4]上

则：t = 2x - ∏/4 在[3∏/20，5∏/4]

①sint 在 t = ∏/2时，取得最大值 1

从而f（x）的最大值为 根号2

②sint 在 t = 5∏/4时，取得最小值 -（根号2）/2

从而f（x）的最小值为 根号 2×[-（根号2）/2]= -1

Answer 2

1.2cosx(sinx-cosx)+1
=sin2x-2(cos2x)^2+1=√2sin(2x-π/4)
则f(x)的最小值=-√2
1.2kπ-2/π<2x-π/4<2kπ+2/π
kπ-π/8<x<kπ+3π/8增 kπ+3π/8<x<kπ+7π/8减 周期是 T=2π/2=π

2.π/5<=x<=3π/4
得 3π/20<=2x-π/4<=5π/4
f(x）最小值是 根号2·sin（5π/4）=-1
最大值是 根号2

Answer 3

f(x)=2sinxcosx-2cos²x+1
=2sinxcosx-(2cos²x-1)
=sin2x-cos2x
=√2sin(2x-π/4)
所以sin(2x-π/4)=-1时最小
此时2x-π/4=2kπ-3π/2
所以x=kπ-5π/8时，最小值=-√2

π/5<=x<=3π/4
3π/20<=2x-π/4<=5π/4
3π/20<=2x-π/4<=π/2，是增函数
π/2<=2x-π/4<=5π/4，是减函数
所以
2x-π/4=π/2，最大值=√2sinπ/2=√2
2x-π/4=5π/4，最小值=√2sin5π/4=-1

Answer 4

f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
=sin2x-cos2x
=√2sin(2x-派/4)
所以最小正周期为2派/2=派
最大 最小值为√2和-√2

Answer 5

f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
=sin2x-cos2x
=√2sin(2x-π/4)
所以当x=kπ+3π/8取最大值
当x=kπ-π/8取最小值

当x=3π/8时取最大值√2
当x=3π/4时取最小值-1