Question

设函数y＝f（x）是定义域在R，并且满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（1／3）＝1，且当x＞0时，f（x）＞0

1．求f（0）值
2．判断函数奇偶性
3．如果f（x）＋f（2＋x）＜2，求x的取值范围
有过程，谢谢

Answer 1

1、
f(0 + 0) = f(0) + f(0)
f(0) = 2f(0)
f(0) = 0

2、
f[x + (-x)] = f(x) + f(-x)
f(0) = f(x) + f(-x)
0 = f(x) + f(-x)
f(-x) = -f(x)
根据定义，这个是奇函数

3、
因为f(x)解析式无法求出（是抽象函数），所以先求出f(x) = 2时的x值
f(1/3 + 1/3) = f(1/3) + f(1/3) = 1 + 1 = 2
f(2/3) = 2

f(x) + f(2+x) < 2
f[x + (2 + x)] < f(2/3)
f(2x + 2) < f(2/3)

要解上述不等式，需求出f(x)单调性
因为 当x＞0时，f（x）＞0，f(x)是奇函数，所以
当x < 0时，f（x）< 0
又假设 a > b > 0，
f(a + b) = f(a) + f(b)
因为 a + b > a , b > 0, f(b) > 0,
所以f(a + b) > f(a)
所以f(x)在x>0时单调递增
又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增

上述不等式f(2x + 2) < f(2/3)
得 2x + 2 < 2/3
2x < -4/3
x < -2/3