Question

高中数学题，求高手解答

定义在(-1,1)上的函数f(x)满足下列两个条件：a,对任意x,y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)),b，当x∈（-1，0）时，f(x)>0,
（1）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由

Answer 1

首先 令y=0 有f(x)+f(0)=f(x) x∈（-1，0）时，f(x)>0
于是 f(0)=0
令y=-x 有f(x)+f(-x)=f(0)=0 f(x)为奇函数
于是（-1，0）和（0，1）单调性相同 且x∈（0，1）时，f(x)<0
不妨 0<x<y<1 于是 1-xy>0 (x-y)/(1-xy) <0
于是 f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f((x-y)/(1-xy)) >0
f(x)在（0，1）上的单调性为减

问题还没问完吧？

Answer 2

令x=y=0，
由f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
得到 f(0)=0
再令y=-x， 则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(-x)=f(x)
所以函数f(x)是奇函数
设-1<x1<x2<1
则有 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2))
因为-1<x1<x2<1，所以(x1-1)(x2+1)<0,即-1<(x1-x2)/(1-x1x2)<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即f(x)在(-1,1)上是减函数