Question

幂的运算

证明:对于任何自然数n来说,总能使(n+1)的2005次方+n的2005次方+(n-1)的2005次方-3n被10整除
为什么n的4k+1次方-n一定是10的倍数

Answer 1

先证明你的问题补充
n^(4k+1)-n = n(n^4k-1)
= n(n^2k+1)(n^2k-1)
n^(4k+1)-n一定是偶数，因为n 与n^4k-1总是异奇偶（即若n为偶数， n^4k-1为奇数， 若n为奇数，n^4k-1为偶数），所以只要证明n^(4k+1)-n能被5整除。

n被5除的余数可能是0，1，2，3，4，或者可以更方便的表示为0， ±1，±2，n² 被5除的余数可能是0，±1，n^2k 被5除的余数也只可能是0，±1，因此对任意自然数n，n(n^2k+1)(n^2k-1) = n^(4k+1)-n 总可以被5整除

有了这一结论，就可以证明(n+1)²⁰⁰⁵ + n²⁰⁰⁵ +(n-1)²⁰⁰⁵ -3n 总能被5整除。
2005 = 2004+1 = 4×501+1
利用上面的结论
n²⁰⁰⁵ -n 一定是10的倍数
(n+1)²⁰⁰⁵ -（n+1) 一定是10的倍数
(n-1)²⁰⁰⁵ -（n-1) 一定是10的倍数

（n+1)²⁰⁰⁵ + n²⁰⁰⁵ +(n-1)²⁰⁰⁵ -3n 为上面三项和， 一定是10的倍数