Question

已知-1＜a＋b＜3,且2＜a－b＜4,求2a＋3b的取值范围。

Answer 1

先求出a的范围，再求出b的范围，然后求2a+3b的范围，这样为什么不行?
答：这样就是同时应用a和b界值，但是当a取界值时，b不一定取到界值，故这样是不行的。
在本例中，-1＜a+b＜3，且2＜a-b＜4表示是一个2×4的长方形区域，倾斜45°放置。假定a为横坐标，b为纵坐标，那么a的界值是左右两顶点的横坐标而b的界值是上下两顶点的纵坐标，a,b的界值不是同一点的坐标，不能同时取到。
正确的解法是：设坐标变换
x=a+b
y=a-b
然后求出逆变换
a=(x+y)/2
b=(x-y)/2
代入目标式得2a+3b=(x+y)+3(x-y)/2=(5x-y)/2
所以最小值是-9/2，最大值是13/2。
-1＜x＜3，且2＜y＜4也是一个2×4的长方形区域，但在xy坐标系中是正平放置、没有倾斜的，故x,y的界值可在同一个顶点取到。

Answer 2

由题意：-1*5/2<5a/2+5b/2<3*5/2
4*(-1/2)<b/2-a/2<-1/2 *2
即-5/2-2<2a+3b<15/2-1
即-9/2<2a+3b<13/2

Answer 3

此题不能分别求a和b的取值范围,这样会产生增解
正解:
因为2a+3b=2.5(a+b)-0.5(a-b)
又-2.5<2.5(a+b)<7.5
-2<-0.5(a-b)<-1
相加得-4.5<2a+3b<6.5

Answer 4

-1＜a＋b＜3,且2＜a－b＜4
两式相加
1<2a<7
两式相减
-3<2b<-1
-9/2<3b<-3/2

-7/2<2a+3b<11/2

Answer 5

相加
1<2a<7 (1)
相减
-5<2b<1
-15/2<3b<3/2 (2)

一加二
-13/2<2a＋3b<9