Question

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f(x)=-x2+8x g(x)=6lnx+m 问是否存在实数m使得y=f(x)与y=g(x)有且只有三个交点 有就求m的范围 没就说明理由 注：答的好追加分 小弟在此先谢过 我高三

Answer 1

函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

      j(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

      ∴j(x)=x2－8x+16ln x+m,

      ∵j′(x)=2x－8+             

      当x∈(0,1)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；

      当x∈(1,3)时，j′(x)<0，j(x)是减函数；

      当x∈(3,+∞)时，j′(x)>0，j(x)是增函数；

      当x=1，或x=3时， j′(x)=0；

      ∴j(x)极大值=j(1)=m－7, j(x)极小值=j(3)=m+6ln 3－15.

      ∵当x充分接近0时，j(x)<0，当x充分大时，j(x)>0.

      ∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

          既7<m<15－6ln 3.

      所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln 3）.

Answer 2

画个图可以看出来，应该不会有吧，第一个函数是二次函数，抛物线行，第二个是个单调函数，所以顶多顶多只能有两个交点，不会有三个交点的。但愿我没有误人子弟。